Relasi rekursif
Suatu relasi rekursif untuk barisan
adalah suatu
persamaan yang menyatakan bentuk an dalam bentuk satu atau lebih
bentuk a sebelumnya, yaitu a0, a1, a2,
…, an – 1 ,
untuk setiap bilangan bulat n dimana n ≥ n0, dimana n0 adalah bilangan bulat tak
negative. Suatu rumus barisan dikatakan solusi dari relasi rekursif apabila rumus tersebut memenuhi relasi rekursif tersebut.
Contoh:
Misal
adalah barisan dengan realsi rekursif
untuk
, dan misalkan
dan
, berapakan nilai a1
dan a3?
Jawab:
Contoh:
Karena:
|
n
|
|
|
|
0
|
3
|
3
|
|
1
|
7
|
7
|
|
2
|
11
|
11
|
|
3
|
15
|
15
|
|
4
|
19
|
19
|
|
…
|
…
|
…
|
Memodelkan
relasi rekursif:
Contoh:
Misalkan seseorang mendepositokan uang
sebesar Rp 10.000.000,- pada suati bank dengan Bungan 11% setahun.
a.
Tuliskan model relasi rekursif
untuk menyatakan banyaknya saldo setelah n
tahun!
b.
Tentukan rumus untuk menyatakan
banyaknya saldo setelah n tahun!
c.
Buktikan kebenaran dari rumus
(b) sama dengan relasi rekursif pada (a) !
d.
Berapa uang orang tersebut
setelah 30 tahun?
Jawab:
a.
Untuk menyelesaikan kasus ini,
dimisalkan Pn menyatakan
banyaknya saldo setelah n tahun.
Karena banyaknya saldo pada n tahun
sama dengan banyaknya saldo pada tahun n
– 1 ditambah dengan bunga pada tahun ke-n,
maka barisan {Pn} dapat
dinyatakan dengan relasi rekursif:
Dengan nilai P0 = 10.000.000.
b.
Dengan menggunakan pendekatan
iteratif akan didapat rumus Pn,
yaitu:
c.
Untuk membuktikan kevalidan
(kebenaran) bahwa
sama dengan
tersebut
digunakan metode induksi matematika.
i) Untuk n = 0, keduanya didapat
ii) Misalkan benar bahwa
sama dengan
untuk
akan ditunjukkan bahwa benar juga untuk
.
Misal
dan
sehingga
Akan ditunjukkan bahwa
Perhatikan
Sehingga rumus
adalah valid.
d.
Banyaknya saldo setelah 30
tahun adalah
Yaitu Rp 228.922.965,72
Latihan (Tugas)
1.
Carilah nilai lima suku pertama
dari barisan yang dibentuk oleh relasi rekursif berikut:
2.
Seseorang menabung sebesar Rp
10.000.000,00 di bank dengan biaya administrasi Rp 10.000 setiap bulan dan
bunga tabungan 2% setiap tahun.
a.
Tentukan relasi rekursif untuk
saldo tabungan untuk n tahun.
b.
Tentukan rumus untuk saldo
tabungan n tahun.
c.
Berapakan saldo tabungan
setelah 30 tahun?
3.
Sebuah organisme berkembang
biak dengan cara membelah diri menjadi tiga organisme setiap 1 jam.
a.
Tentukan relasi rekursif untuk
banyak bakteri pada n jam
b.
Misal pada awalnya ada 3
organisme, berapa banyak organisme setelah 4 hari?
0 komentar:
Post a Comment